Asal sayı sanıları nelerdir?

Matematiksel kanıtlar arasında bir güzellik yarışması yapılsa, Öklid’in (MÖ. 300) "sonsuz tane asal sayı vardır" önermesinin kanıtı hiç kuşkusuz ilk on sırada yer alırdı. Bu teorem Öklid’in ünlü Öğeler adlı yapıtının dokuzuncu cildinde kanıtlanır. Öklid’in teoreminin güzelliğinin göklere çıkarılmadığı ve kanıt-lanmadığı popüler matematik kitabı yok gibidir. Birazdan bu güzel teoremi -ve çok daha fazlasını- kanıtlayacağız.

Bir sayının asal olup olmadığını nasıl anlarız? Sayımıza n diyelim. n’yi n’den küçük sayılara bölmeye çalışalım. Eğer n’den küçük, 1’den büyük bir sayı n’yi tam bölüyorsa, n, tanımı gereği, asal olamaz. Öyle bir sayı bulamazsak, n asaldır. Ne var ki bu yöntemle büyük sayıların asallığına karar vermek çok zaman alır. Bu yöntem ve çeşitlemeleri dışında bir sa-yının asallığına karar verebilecek genel bir yöntem de bilinme-mektedir. Örneğin, şu çeşitleme düşünülebilir: n’yi n’den küçük her sayıya böleceğimize, n’yi &n’den küçük sayılara bölmeye çalışabiliriz.

Çünkü n = ab ve a % &n ise, b ' &n’dir. Dolayısıy-la n asal değilse, &n’den küçük bir sayıya bölünür. Böylece yap-mamız gereken bölme sayısı azalır. Bir başka kolaylık da şöyle sağlanabilir: n’nin asal olup olmadığına karar vermek için n’yi &n’den küçük her sayıya bölmeye çalışacağımıza, &n’den küçük asallara bölmeye çalışmamız yeterlidir. Bu birazdan kanıtlaya-cağımız birinci teoremden çıkar. Böylece, n’nin asallığına karar vermek için yapmamız gereken bölme sayısı daha da azalır.

Öte yandan bu yöntemi kullanabilmek için &n’den küçük asal-ları bilmek gerekir. Bu asalları bildiğimizi varsaysak bile, böl-me sayısı gene de büyük sayılar için çok fazladır. Örneğin, n = 100.000.000.001’in asal olup olmadığını anlamaya çalıştığımı-zı varsayalım bir an. Eğer n asal değilse ve küçük bir asala (ör-neğin 97’ye) bölünebiliyorsa, n’nin asal olmadığına oldukça ça-buk karar veririz. Ama ya n asalsa ya da küçük bir asala bö-lünmüyorsa? Onbinlerce bölme işlemi yapmamız gerekecek.

Yukarda açıkladığımız yöntem Yunanlı matematikçi Era-tosthenes tarafından M.Ö. 3. yüzyılda bulunmuştur. Bu yöntemle 50 rakamlı bir sayının en gelişmiş bilgisayar yardımıyla asal olup olmadığını anlamak trilyonlarca yıl alır. Yaşam gerçekten kısa!

Bazı özel sayıların asallığına karar vermek için özel yöntemler geliştirilebilir. Örneğin son rakamı çift olan bir tek asal sayı vardır, o da 2’dir. Çünkü son rakamı çift olan bir sayı 2’ye bölünür.

Asal olmayan sayılara bir başka örnek vereyim. x^a – 1 biçi-minde yazılan sayılar x –1’e bölünürler:

x^a – 1 = (x – 1)(x^a–1 + x^a–2 + ... + x + 1).

Sav: Eğer a asal değilse 2^a – 1 de asal olamaz.

Kanıt: Bunu kanıtlamak için önce a = bc yazalım. a asal olmadığından bu eşitliği sağlayan b > 1 ve c > 1 sayıları vardır. Sonra x’i 2^b olarak tanım-layıp küçük bir hesap yapalım:

2^a – 1 = 2^bc – 1 = (2^b)^c – 1 = x^c – 1. Ama x^c – 1 sayısının x – 1’e bölündüğünü yukarda görmüştük. Demek ki 2^a – 1, x – 1’e bölünür ve asal olamaz. Dolayısıyla, 2^a – 1’in asal olması için a’nın asal olması gerekmek-tedir. Kanıtımız bitmiştir.

Asal bir a için 2^a – 1 biçiminde yazılan sayılara Mersenne sayıları denir.² Peki, a asalsa,

M_a = 2^a – 1

olarak tanımlanan sayı da asal mıdır? İlk Mersenne sayılarına bakalım:

M₂=3

M₃=7

M₅=31

M₇ = 127

Bu sayıların her biri asal. Ama bundan sonraki ilk Mersen-ne sayısı, yani M₁₁, asal değil: M₁₁ = 23 × 89.

Hangi asallar için M_a asaldır? Yanıt bilinmiyor.

İki ay sonra, Amerikalı David Slowinski M₄₄₄₉₇’nin asal ol-duğunu gösterdi.Mayıs 1983’te gene Slowinski, M₈₆₂₄₃’ün asal olduğunu bilgisayar yardımıyla tam 1 saat 3 dakika 22 saniyede kanıtladı. Ama 86.243 sihirli sayısını bulmak için aylarca uğraştı. Bilinen klasik yöntemle (yani kendisinden küçük sayılara bölme-ye çalışarak) M₈₆₂₄₃’ün asal olduğunu kanıtlamak, evrenin öm-rünü aşardı! M₈₆₂₄₃’ün tam 25.962 rakamı olduğunu da ayrıca belirtelim. Bu kadar bozuk parayı üstüste yığsanız, para kule-niz evrenin sınırlarını aşar! [43]

Yukardaki asalı bulan Slowinski, 19 Eylül 1983’te M₁₃₂₀₄₉’un asal olduğunu bilgisayarlarla anladı. Bundan çok daha önce, Manfred Schroeder adlı bir matematikçi, matema-tiksel yöntemlerle, sezgisinin de yardımıyla, 2^130.000 civarların-da bir asal olduğunu tahmin etmişti zaten.

Mart 1992’de M₇₅₆₈₃₉’un asal olduğu anlaşıldı.

12 Ocak 1994’te, Paul Gage ve yine David Slowinsky bilgi-sayar ağlarında M₈₅₉₄₃₃’ün asal olduğunu kanıtladıklarını du-yurdular. Hesaplarını gene bilgisayarla yapmışlardı elbet.

Şimdi, S_o = 4, S_k+1 = S_k² ! 2 olsun. Örneğin, S₁ = 4² !2 = 14’tür. Bunun gibi, S₂ = S₁² !2 = 14² !2 = 194’tür. Bir q asalı için, M_q’nün asal olması için gerekli ve yeterli koşul, M_q’nün S_q’yü böl-mesidir. Bu teste Lucas testi denilir. Lucas testi sayesinde çok büyük asallar oldukça kolay sayılacak işlemlerle bulunabilir.

Büyük sayıların asal olup olmadıklarını anlamak, şifreli me-sajlarda (kriptoloji) çok önemlidir ve gelişmiş ülkelerin orduları bu yüzden asal sayılarla çok ilgilenirler. Gizli mesaj yollamak is-teyen, mesajıyla birlikte iki büyük asal sayının çarpımını da yol-lar. fiifreyi çözmek için, şifreyle birlikte yollanan sayıyı bölen o iki asalı bilmek gerekir, ki bu da dışardan birisi için (sayılar bü-yük olduğundan) hemen hemen olanaksızdır. İki sayıyı çarpmak kolaydır ama bir sayıyı çarpanlarına ayırmak çok daha zordur.

Şifrelemede Mersenne sayıları kullanılmaz. Çünkü az sayıda (30 küsur tane olmalı) asal Mersenne sayısı bilindiğinden, şifreyle birlikte yollanan sayının asal bir Mersenne sayısına bö-lünüp bölünmediğini anlamak kolaydır.

Asal olmayan bir sayıyı bölenlerine ayırmanın Fermat’nın bulduğu şu yöntem vardır. Eğer n sayısı iki pozitif doğal sayı için x² ! y² biçiminde yazılıyorsa, o zaman,

n = (x ! y)(x + y)

eşitliği doğrudur ve x, y +1 olmadığı sürece, n’yi çarpanlarına ayırmış oluruz. Bunun tersi de aşağı yukarı doğrudur. Eğer n = ab ise ve n çift değilse, o zaman,

x = (a + b)/2

ve

y = (a + b)/2

alarak, n = x² ! y² eşitliğini elde ederiz. Demek ki, çift olmayan bir n doğal sayısını çarpanlarına ayırmak için, n = x² ! y² eşit-liğini sağlayan x ve y bulmalıyız. Bu eşitlik yerine y² = x² ! n yazalım ve x yerine teker teker sayıları koyup x² ! n sayısını he-saplayalım. Bu sayı tam bir kare (y²) olduğunda n = x² ! y² eşit-liğini bulmuş oluruz. Elbette x’in &n’den büyük olması gerek-mektedir, yoksa x² ! n pozitif bile olamaz. Ayrıca, x² ! n sayı-sının tam bir kare olması için 0, 1, 4, 5, 6 ve 9’la bitmesi gerek-mektedir, 2, 3, 7 ve 8’le biten sayılar kare olamazlar.

Aynı yöntemi n = 143 için deneyecek olursanız, gene yanıtı hemen bulursunuz: x = 12, y = 1.

Mersenne sayılarına çok benzeyen başka sayılara bakalım. 2^a + 1 biçiminde yazılan sayılar asal mıdır? Bu sayıların hangi a’lar için asal olduklarını bilmiyoruz ama hangi a’lar için asal olamayacaklarını biliyoruz: Eğer a, 2’nin bir gücü değilse, yani 2ⁿ biçiminde yazılamazsa, bu sayılar asal olamazlar. Bunu birazdan kanıtlayacağız (Teorem 9.) Fermat,

F_n = 2²ⁿ + 1

biçiminde yazılan bütün sayıların asal olduklarını sanıyordu. Bu yüzden bu sayılara Fermat sayıları denir. Gerçekten de ilk beş Fermat sayısı,

Demek ki a = 2ⁿ biçiminde yazılabilse bile, 2^a + 1 asal olmayabiliyor.

F₆ = 274177 × 67280421310721

eşitliğini buldu. F₇ ve F₈ de asal değiller. Bu sayıların asal olma-dıkları, çok geç bir tarihte, 1970 ve 1981’de anlaşıldı. W. Keller, 1980’de F₉₄₄₈’in asal olmadığını gösterdi. Bu sayı 19 × 2⁹⁴⁵⁰ + 1’e bölünür. 1984’de gene W. Keller, F₂₃₄₇₁’in asal olmadığını kanıtladı. Bu sayının 10⁷⁰⁰⁰’den fazla basamağı vardır ve 5 × 2²³⁴⁷³ + 1’e bölünür.

F_o = 3

F₁=5

^F2= 17

F₃= 257

^F4= 65537

asaldır. Fermat, bütün Fermat sayılarının asal olduklarını kanıtlamaya uğraştı ama başaramadı. Başarısızlığının nedeni vardı: Sanısı doğru değildi. F₅ asal değildir. F₅ on basamaklı bir sayı olduğundan asallığını kanıtlamak kolay değildi. Euler (1707!1783), F₅’i F5 = 641 × 6700417.n % 5 için, asal bir Fn’nin olup olmadığı şimdilik bilinmiyor. Asallığı bilinmeyen en küçük Fermat sayıları şunlar: F22, F24, F28.

Son yıllarda bir sayının asallığına yüzde olarak oldukça çabuk karar verebilen yöntemler geliştirildi. Ör-neğin, "fiu sayı yüzde 99,978 olası-lıkla asaldır," gibi önermeler bilgisa-yarların yardımıyla oldukça kısa sayılabilecek zamanda kanıtlandı. Bu konuda bilgim kısıtlı oldu-ğundan daha fazla söz söyleyemeyeceğim.

11, 111, 1111, 11111 gibi her rakamı 1 olan sayılar asal mıdır? İçinde n tane 1 olan sayıya B_n diyelim. Eğer çift sayıda 1 varsa, yani n çiftse, B_n, 11’e bölünür ve B₂ dışında bunlardan hiçbiri asal olamaz. Eğer n üçe bölünüyorsa B_n de üçe bölünür ve asal olamaz.

Hangi n’ler için B_n asaldır? Bu asallardan kaç tane vardır? B₂, B₁₉, B₂₃, B₃₁₇, B₁₀₃₁ asal sayılar, bu biliniyor. Bunlardan başka? Ben bilmiyorum. Bu sayılardan daha büyük bir asal varsa, n > 10.000 olması gerektiğini Harvey Dubner adlı biri kanıtlamış, daha doğrusu hesaplamış. Bkz. Kaynakça [43].

Kanıt: Bunun kanıtı oldukça kolaydır: a > 1 bir sayı olsun.

a’nın bir asala bölündüğünü kanıtlamak istiyoruz.

Eğer a asalsa bir sorun yok: a, a’yı böler ve teoremimiz ka-nıtlanmış olur (a bir asala (kendisine!) bölünür.)

Eğer a asal değilse, a’yı bölen ve 1 < b < a eşitsizliklerini sağlayan bir b vardır. Eğer b asalsa bir sorun yok: b, a’yı böler ve teoremimiz kanıtlanmış olur.

Eğer b asal değilse, b’yi (ve dolayısıyla a’yı da) bölen ve 1 < c < b eşitsizliklerini sağlayan bir c vardır. Eğer c asalsa bir so-run yok: c, a’yı böler ve teoremimiz kanıtlanmış olur.

Eğer c asal değilse, c’yi (ve dolayısıyla a’yı da) bölen ve 1 < d < c eşitsizliklerini sağlayan bir d vardır. Eğer d asalsa bir so-run yok: d, a’yı böler ve teoremimiz kanıtlanmış olur.

Eğer d asal değilse.......

Nereye dek gidebiliriz? Bulacağımız her sayı bir öncekinden küçük ve 1’den büyük olduğundan sonsuza dek bunu böyle sürdüremeyiz. Bir zaman sonra durmalıyız, yani bir zaman son-ra a’yı bölen bir asal buluruz. Teoremimiz kanıtlanmıştır.

Birazdan, yukarda güzelliğinden sözettiğimiz Öklid Teore-mini kanıtlayacağız: Sonsuz tane asal sayı vardır. Aynı yöntem-le başka sonuçlar da çıkaracağız. İlk önce biraz ilkokul aritme-tiği yapalım.

Eğer a ve b sayıları n’ye bölünüyorsa, bu iki sayının topla-mı da n’ye bölünür. Örneğin hem 78, hem 66 üçe bölündüğün-den, 78 + 66 da, yani 144 de, üçe bölünür.

Bir üst paragraftaki b’yi 1 olarak alırsak, a’yı bölen 1’den büyük bir sayının a + 1’i bölemeyeceği çıkar. Demek ki a ve a+1 sayılarının 1’den başka ortak böleni yoktur.

Hem ikiye, hem de üçe bölünen bir sayıya 1 eklersek, elde ettiğimiz sayı ne ikiye ne de üçe bölünür. Bunun gibi, 2 × 3 × 4

5 6 × 7, yani 5040, 2’ye, 3’e, 4’e, 5’e, 6’ya, 7’ye bölünür, ama bu sayıya 1 ekleyerek elde ettiğimiz 5041, bunlardan hiç-birine bölünmez.

Aynı şey a ve a – 1 sayıları için de geçerlidir. Örneğin, 5040’ı bölen 1’den büyük hiçbir sayı 5039’u bölemez.

5039 ve 5041 sayılarının 7 ve 7’den küçük hiçbir asala bö-lünmediklerini gördük. Öte yandan, Teorem 1’e göre, bu sayı-lardan her biri bir asala bölünmeli. Demek ki 7’den büyük bir asal vardır. Bunun gibi 2’yle 11 arasındaki sayıların çarpımına 1 eklersek, elde edilen sayı bir asala bölünür ve bu asal 11’den büyük olmak zorundadır. Bu akıl yürütmeyi genelleştireceğiz:

Teorem 2. Sonsuz tane asal sayı vardır.

Kanıt: n > 1 herhangi bir sayı olsun. 2’den n’ye kadar bü-tün sayıları birbiriyle çarpalım: 2 × 3 × ... × (n–2) × (n–1) × n. Kocaman bir sayı elde ettik. Bu sayı n! olarak simgelenir. n! sa-yısı n + 1’den küçük bütün sayılara bölünür elbet, çünkü n! bu sayıların çarpımı. Demek ki n! + 1 sayısı 1’le n arasındaki hiç-bir sayıya bölünemez. Öte yandan, Teorem 1’e göre n! + 1 sa-yısı bir asala bölünmeli. Demek ki n’den büyük bir asal vardır.

Ne bulduk? Her sayıdan büyük bir asal bulduk. Dolayısıyla sonsuz tane asal vardır, çünkü her asaldan büyük bir başka asal vardır. İkinci teorem kanıtlanmıştır.

Ne denli yalın bir kanıt değil mi? Ve şaşırtıcı. fiu nedenden şaşırtıcı: Kanıt, n’den sonra gelen ilk asalı bulmuyor; yalnızca n’den büyük bir asalın varlığı kanıtlanıyor. Örneğin 1 milyon-dan büyük bir asal vardır. Hangi asal? Yanıt yok! Kanıt, han-gi asalın 1 milyondan büyük olduğunu göstermiyor. "Öyle bir asal var" demekle yetiniyor.

Aslında kanıtımız n’den büyük asallar üzerine hiç de bilgi vermiyor değil. En azından, her n için, n < p ' n! + 1 eşitsizlik-lerini sağlayan bir p asalının olduğunu kanıtlıyor.

Teorem 3. Her n > 1 için, n < p ' n! + 1 eşitsizliklerini sağ-layan bir asal vardır.

Hangi n asal sayıları için n! + 1 asaldır? Bence bu pek ilginç bir soru değil ama, meraklılar böyle sorular soruyorlar. Yanıt bilinmiyor. 1987’de H. Dubner, n = 13649 için, ki bu asal bir sayıdır, 5862 basamaklı n! + 1 sayısının asal olduğunu gösterdi.Yukardaki teoeremde, n! + 1 sayısını biraz daha küçültebi-liriz. Teorem 2’nin kanıtının hemen hemen aynısı, n! yerine, n’den küçük ya da eşit asalların çarpımını alabileceğimizi gös-teriyor. Örneğin, n = 29 ise, 29 < p ' 2×3×5×7×11×13×17×19×23×29 + 1 eşitsizliğini sağlayan bir asal vardır.

Bütün bunlar akla bir başka soru getiriyor. Ardarda gelen, örneğin, her bin sayıdan en az biri asal mıdır? Başka bir deyiş-le, n herhangi bir sayıysa, n + 1, n + 2, n + 3, ..., n + 1000 sayılarından biri mutlaka asal mıdır?

Bu soruyu yanıtlamak için yeterli bilgiye sahibiz. Yanıt olumsuzdur. Yanıtın olumsuz olduğunu kanıtlayalım.

Bir örnekle başlayalım. 7! = 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7, yani 5040, 2’ye, 3’e, 4’e, 5’e, 6’ya ve 7’ye bölünür. Dolayısıyla

5043, 3’e

5044, 4’e

5045, 5’e

5046, 6’ya

5047, 7’ye

bölünür ve bu sayılardan hiçbiri asal olamaz. Bunun gibi, aşa-ğıdaki bin sayı,

                                 1001! + 2, 1001! + 3, ... , 1001! + 1001

sırasıyla 2’ye, 3’e, ..., 1001’e bölünürler ve hiçbiri asal olamaz.

Bu yaptığımızı genelleştirmek işten bile değildir:

Teorem 4. Ardarda gelen her n sayıdan birinin mutlaka asal olduğu bir n yoktur.

Asallarla ilgili bir başka soruya geçelim. Sayıları üç küme-ye ayırabiliriz:

A kümesi = {3’e bölünen sayılar }

B kümesi = {3’e bölündüğünde kalanın 1 olduğu sayılar} C kümesi = {3’e bölündüğünde kalanın 2 olduğu sayılar}

Yani,

A = {3, 6, 9, 12, 15, 18,...}

B = {4, 7, 10, 13, 16, 19,...}

C = {5, 8, 11, 14, 17, 20,...}

B kümesinden herhangi iki sayı alalım: n₁ ve n₂. Bu sayılar 3’e bölündüğünde 1 kalıyor. Dolayısıyla n₁ = 3q₁ + 1 ve n₂ = 3q₂ + 1 olarak yazabiliriz. fiimdi n₁ ve n₂’yi birbiriyle çarpalım:

n₁n₂ = (3q₁+1)(3q₂+1) = 9q₁q₂ + 3q₁+3q₂ +1 = 3(3q₁q₂+q₁+q₂)+1 Dolayısıyla n₁n₂ sayısı 3’e bölündüğünde 1 kalır. Ne kanıtladık? B kümesindeki sayıların çarpımlarının gene B kümesin-de olduğunu kanıtladık. Bunu kullanarak aşağıdaki teoremi kanıtlayacağız:

Teorem 5. C kümesinde sonsuz tane asal vardır.

Kanıt: C kümesindeki bir sayı, A kümesindeki bir sayıya bölünemez, çünkü A kümesindeki sayılar 3’e bölünüyor, oysa C kümesindekiler 3’e bölünmüyorlar. Demek ki C kümesinde-ki bir sayıyı bölen sayılar B ve C kümesinde olmalıdır. Ama hepsi birden B’de olamaz, çünkü B’nin öğeleri kendileriyle çar-pıldığında gene B’den bir sayı verir. Demek ki C kümesinin her sayısı, gene C kümesinden bir asala bölünür.

Şimdi n % 3 herhangi bir sayı olsun. n! – 1 sayısını ele ala-lım. Bu sayıya x diyelim. x, C’dedir, çünkü, x = (n! – 3) + 2 ola-rak yazılabilir ve n! – 3 üçe bölünür. Demek ki C kümesinde x’i bölen bir asal vardır. Öte yandan x’i bölen sayılar n’den bü-yüktür elbet. Ne kanıtladık? n kaç olursa olsun, C kümesinde n’den büyük bir asal vardır. Yani C’de sonsuz tane asal vardır.

Okur buna benzer bir kanıtla aşağıdaki teoremi kanıtlayabilir:

Teorem 6. 4’e bölündüğünde kalanı 3 olan sonsuz tane asal vardır.

18’inci yüzyılın sonlarına doğru, Fransız matematikçisi Le-gendre (1752!1833) son iki teoremi genelleştirmek istedi. fiu soruyu sordu:

Soru. a ve b, 1’den başka ortak böleni olmayan iki sayı ol-sun. ax+b biçiminde yazılan sonsuz tane asal var mıdır?

Teorem 5’ten a = 3, b = 2 için, Teorem 6’dan da a = 4, b = 3 için yanıtın olumlu olduğu anlaşılıyor. Legendre bu soruyu genel olarak yanıtlamak istedi. Örneğin 25x + 6 biçiminde yazılan son-suz tane asal var mıdır? Eğer x = 1 ise 31 buluruz ki, 31 asaldır. Eğer x = 2, 3, 4 ise, sırasıyla 56, 81, 106 buluruz ve bunlardan hiçbiri asal değildir. x = 5 olduğunda 131 çıkar ve 131 asaldı.

İkinci denemesini Sayılar Kuramı adlı kitabına aldığını biliyo-ruz [26]. Ama bu denemesi de yanlış. Kanıtın yanlışlığının ne zaman anlaşıldığını bilmiyorum. 1837’de, meslektaşı Legendre gibi Fransız olan G. L. Dirichlet (1805!1859) teoremi doğru olarak kanıtladı [8]:

Teorem 7. a ve b ortak böleni olmayan iki doğal sayıysa, ax+b biçiminde yazılan sonsuz tane asal sayı vardır.

Dirichlet’nin yönteminden bir başka teorem daha elde edi-lebilir:

Teorem 8. a, b ve c ortak böleni olmayan üç pozitif doğal sayı olsunlar. ax² + bxy + cy² biçiminde yazılan sonsuz tane asal vardır.

Sadece ve sadece asal sayıları ve her asal sayıyı veren bir formül var mıdır? Genel olarak sanılanın tersine böyle bir for-mül vardır. Öyle bir formül vardır ki, bu formülle yalnız ve yal-nız asal sayılar elde edilir ve her asal sayı bu formülle elde edi-lir. Oldukça kolay bir formüldür bu. İşte formül:

n ve m herhangi iki doğal sayı olsun.

k = m(n + 1) ! (n! + 1) olarak tanımlansın. Şimdi,

p = [(n ! 1)(|k² ! 1| ! (k² ! 1))/2] + 2

her n ve m sayısı için asaldır! Ayrıca her asal sayı bu biçimde elde edilebilir.

Bu formülle sık sık 2 elde ederiz, ama 2 dışındaki her asal sayı bu formülle ancak bir kez, yani bir tek n ve m değerleri için elde edilebilir.

Eğer k² ! 1 % 0 ise, yukardaki formül hep p = 2 verir. Ama k² ! 1 < 0 ise, yani k² < 1 ise, yani k² = 0 ise, yani k = 0 ise, ya-ni m(n + 1) ! (n! + 1) = 0 ise, yani,

m = (n! + 1)/(n + 1)

ise, yukardaki formül p = n + 1 verir. Bu sayı asaldır, çünkü Wilson’ın ünlü teoremine göre, m’nin tamsayı olabilmesi için, yani n + 1’in n! + 1’i bölebilmesi için, n + 1’in asal olması ge-rekmektedir.

Örneğin, n = 2 ve m = 1 ise, p = 3 bulunur. Eğer n = 4 ve m = 5 ise, p = 5 bulunur. Eğer, n = 6 ve m = 103 ise, p = 7 bulunur. Gelecek asalı, yani 11’i bulmak için, yani p = 11 çıkması için, n’nin 10 olması, m’nin de

(10! + 1)/11

yani 329.891 olması gerekmektedir. Hangi n ve m sayıları için p = 13 bulunacağını okur kolaylıkla bulabilir.

Hardy ve Wright, bir ( = 1,9287800… sayısı için,

sayısının (n tane 2 var) bir asal olduğunu gösterdiler⁴. Örneğin ƒ(1) = 3, ƒ(2) = 13, ƒ(3) = 16381. ƒ(4)’ü hesaplamak zor, ba-samak sayısı 5000 civarında. Öte yandan, ( sayısını belirlemek için, asal sayıları bilmek gerektiğinden, bu formül pek işe yara-maz. Gene de öyle bir ( sayısının varlığı ilginç.

Her asalı veren bir formül var ama, her asalı veren bir po-linomun⁵ olmadığı biliniyor. Eğer katsayıları tamsayı olan her polinomun sonsuz tane asal olmayan sayı verdiği bilinir.

1772’de Euler, n² + n + 41 polinomunun n = 0,1,2,…,39 için asal sayılar verdiğini buldu. Ancak bu polinom n = 40 için 41’e bölünür ve asal değildir.

Teorem 9. Eğer a = 2ⁿ biçiminde yazılamazsa, 2^a + 1 asal olamaz.

Kanıt: Önce şunu belleyelim: x herhangi bir sayı ve a > 1 bir tek sayıysa, x^a + 1 sayısı asal olamaz, çünkü x + 1’e bölünür. fiöyle bölünür:

x^a + 1 = (x+1)(x^a–1 – x^a–2 + x^a–3 – x^a–4 + ... – x + 1.) fiimdi a’nın bir tek sayıya bölündüğünü varsayalım. 2^a +

1’in asal olamayacağını kanıtlamak istiyoruz. a’yı bölen tek sa-yıya m diyelim. Demek ki a = nm ve m bir tek sayı. x = 2ⁿ ol-sun. Küçük bir hesap yapalım:

2^a + 1 = 2^nm + 1 = (2ⁿ)^m + 1 = x^m + 1.

m tek olduğundan, ilk paragrafta gördüğümüz gibi, x + 1, x^m + 1’i böler. Yani x + 1, 2^a + 1’i böler.

Demek ki a bir tek sayıya bölünüyorsa, 2^a + 1 asal olamaz.

Dolayısıyla a, 2’nin bir katı olmalı.

Asallar üzerine bildiklerimiz bilmediklerimizin yanında hiç kalır. Bildiklerimiz arasından en önemlilerinden biri Fer-mat’nın Küçük Teoremi adıyla anılan şu teoremdir:

Teorem 10. (Fermat’nın Küçük Teoremi.) n bir sayıysa ve p asalsa, p, n ^p – n sayısını böler. Dolayısıyla eğer p, n’yi böl-müyorsa, n sayısı n^p–1–1’i böler.

Bu teorem, n üzerine tümevarımla kolaylıkla kanıtlanabilir. Örneğin 23, 2²³–2 sayısını böler, çünkü 23 asaldır. 23, 2’yi bölmediğinden, 23, 2²²–1 sayısını da böler.

Bunun tersi doğru mudur? Yani eğer p > 1 bir tamsayıysa ve p, 2^p–1 – 1’i bölüyorsa, p asal mıdır?

Eğer p, 2^p – 2’yi bölüyorsa ama asal değilse, p’ye  adı verilir. Örneğin 341 bir yalancı asaldır.⁶ 561, 645, 1105,1387,1729, 1905 de yalancı asallardır. Kaç tane yalan-cı asal vardır? Sonsuz tane vardır, çünkü eğer p bir yalancı asal-sa, 2^p–1 de bir yalancı asaldır. Okur bunu alıştırma olarak ka-nıtlayabilir. Demek ki 2³⁴¹ – 1 bir yalancı asaldır.

Her p için, 2^p – 1 tek bir sayıdır. Dolayısıyla yukardaki yön-temle bulunan yalancı asallar hep tektirler. Bundan da şu "do-ğal" soru çıkar: Çift yalancı asal var mıdır? Evet! 1950’de D.H. Lehmer 161.038’in bir yalancı asal olduğunu kanıtladı.

161.038 sayısını bulmak kolay değil ama, bu sayının yalancı asallığını kanıtlamak oldukça kolay. Kanıtlayalım. 161.038’in

2^161.038 – 2’yi böldüğünü kanıtlamak istiyoruz. Önce 161.038’i asallarına ayıralım:

161.038 = 2 × 73 × 1103.

Demek ki 73 ve 1103’ün a : = 2^161.037–1 sayısını böldüğünü ka-nıtlamalıyız. 161.037’yi asallarına ayıralım:

161.037 = 3² × 29 × 617 = 9 × b.

Burda b = 29 × 617 olarak aldık elbet. Eğer c = 2⁹ ise, bundan da şu çıkar:

a = 2^161.037 – 1 = (2⁹)^b – 1 = c^b – 1.

Demek ki c – 1, yani 2⁹ – 1, yani 511, yani 7 × 73, a’yı bölüyor-muş. Dolayısıyla 73 de a’yı bölüyordur. fiimdi sıra 1103’ün a’yı böldüğünü kanıtlamakta. Aynı akıl yürütmeyi yapacağız.

d : = 3² × 617 ve e = 2²⁹

olsun. Hesaplayalım:

a = 2^161.037 – 1 = (2²⁹)^d – 1 = e^d – 1.

Demek ki

e – 1 = 1103 × 486.737,

a’yı bölüyormuş. Kanıtımız bitmiştir.

1951’de N.W.H. Beeger sonsuz tane çift yalancı asal oldu-ğunu kanıtladı.

Eğer p > 1, her n için n ^p – n’yi bölüyorsa ve asal değilse, p’ye çok yalancı asal adı verilir. Çok yalancı asal sayı var mı-dır? Evet. En küçük çok yalancı asal sayı 561’dir. 561 = 3 × 11

17 olduğundan 561 asal değildir. Öte yandan, 561, her n için

n⁵⁶¹–n’yi böler. Bunu da kanıtlamak oldukça kolaydır. Kanıt için okur Kaynakça [23]’e bakabilir.

Fermat’nın Küçük Teoremi’ne göre (Teorem 10), eğer p asalsa,

1^p–1, 2^p–1, ..., (p–1)^p–1

sayıları p’ye bölündüğünde 1 kalır. Dolayısıyla bu p–1 sayının toplamı olan

1^p–1 + 2^p–1+ ... + (p–1) ^p–1

sayısı p’ye bölündüğünde kalan p – 1’dir. Bunun tersi de doğ-ru mudur? Yani n herhangi bir sayıysa ve

1^n–1 + 2^n–1 + ...+ (n–1)^n–1

sayısı n’ye bölündüğünde kalan n – 1 ise, n asal mıdır? 1950’de Bedocchi adında bir matematikçi 1985’de yanıtın n < 10¹⁷⁰⁰ için "evet" olduğunu gösterdi. Genel sorunun yanıtı bugün de bilinmiyor:

Soru: n herhangi bir sayıysa ve 1^n–1+2^n–1+ ...+(n–1)^n–1sayı-sı n’ye bölündüğünde kalan n – 1 ise, n asal mıdır?

Gerçek asallara geri dönelim. Wilson Teoremi, hemen he-men Fermat’nın Küçük Teoremi kadar önemlidir:

Teorem 11. Eğer p asalsa, p, (p – 1)! + 1’i böler.

Asallar üzerine yanıtı bilinmeyen bir başka soru geçeyim. Goldbach, bir mektubunda aşağıdaki soruyu Euler’e sordu (1772):

Goldbach Sanısı (1): 5’ten büyük her sayı üç asalın topla-mına eşittir.

Euler, Goldbach’a sorunun yanıtını bilmediğini, ama soru-nun aşağıdaki soruyla eşdeğer olduğunu yazdı:

Goldbach Sanısı (2): 4’ten büyük her çift sayı iki asalın top-lamıdır.

Örneğin,

                                             4= 2+2

6 =3+3

8 =3+5

10 = 3+7 = 5+5

12 = 5+7

                                            14= 3+11 = 7+7

                                           16= 3+13 = 5+11

                                          18= 5+13 = 7+11

                                         20= 3+17 = 7+13

                                      22= 3+19 = 5+17 = 11+11

                                      24= 5+19 = 7+17 = 11+13

                                      26= 3+23 = 7+19 = 13+13

Yüz milyondan küçük sayılar için Goldbach sanısının doğ-ru olduğu biliniyor. Önermenin her sayı için doğru olduğu bi-linmiyor, ancak doğru olduğu sanılıyor. Bu sanıyı kanıtlayabi-lirseniz ölümsüzler arasında yerinizi alırsınız.

Asal sayılar üzerine dahaca çözülememiş bir başka ünlü sanı vardır:

İkiz Asallar Sanısı: Sonsuz tane ikiz asal sayı vardır.

Eğer iki asal sayının arasındaki fark 2 ise, bu iki asal sayı-ya ikiz denir. Örneğin, (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43) ikiz asal sayılardır. Sonsuz tane ikiz asalın olup olma-dığı bilinmiyor. "

Bilinse ne olur, bilinmese ne olur?" demeyin. Yanıtı bilinmeyen her soru ilginçtir, üzerinde düşünmeye değer. İnsan yalnızca "düşünen hayvan" değildir, nedenli nedensiz düşünen hayvandır.

1966’da, sonsuz tane asal p sayısı için, p + 2 sayısının ya asal ya da iki asalın çarpımı olduğu kanıtlandı.

Bilinen en büyük ikiz asallar 1.706.595 × 2¹¹²³⁵ ± 1 asalla-rıdır, 1990’da Parady, Smith ve Zarantonello tarafından bu-lunmuşlardır. (Tabii bu yazının yazıldığı tarihe kadar...)

Üçüz asal var mıdır? (3,5,7)’den başka yoktur. Okur bunu kolaylıkla kanıtlayabilir. Bir ipucu verelim: eğer n bir tamsayıy-sa, n, n+2, n+4 sayılarından biri 3’e bölünür.

Yukarda sonsuz tane asal sayının olduğunu gördük. Gene de o kadar fazla asal sayı yoktur. Örneğin, çift sayılar (2 dışında) asal olamayacaklarından, sayıların "yarısından fazlası" asal de-ğildir. 1’le n arasından rastgele bir sayı seçsek, bu sayının asal ol-ma olasılığı kaçtır? Bu olasılık n’ye göre değişir elbet. Eğer n = 100 ise, bu olasılığın 1/4 olduğunu yazının en başında görmüştük.

Eğer n bir tamsayıysa, "(n), n’den küçük asalların sayısı ol-sun. "(n)/n, n’den küçük rastgele seçilmiş bir sayının asal olma olasılığıdır. n sonsuza gittiğinde, bu olasılığın değeri kaçtır? Okur, n büyüdükçe, asal seçme olasılığının da küçüleceğini ve n sonsuza gittiğinde bu olasılığın 0’a yakınsayacağını tahmin edebilir. Bu tahmin doğrudur:

lim_n)* "(n)/n = 0.

Bundan çok daha iyi bir sonuç bilinmektedir. "(n)/n ve 1/log(n), n büyüdükçe birbirlerine çok yakınsamaktadırlar.⁸ Baş-ka bir deyişle, eğer n büyükse, "(n) aşağı yukarı n/log(n) dur, ya-ni "(n) + n/log(n). Bu sonuca Asal Sayılar Teoremi adı verilir.

Asal sayılar son derece ilginç bir konudur. Asal sayılar ko-nusunda bilgilenmek isteyen okur [33] ve [40]’a bakabilir. He-le Euler’in sonsuz tane asal sayının olduğunu (bir kez daha) ka-nıtlayan bir kanıtı vardır ki...

DİPNOTLAR:

1. Bu yazıda, "sayı" sözcüğünü 1, 2, 3, 4 gibi tamsayılar için kullanacağız.
2. Marin Mersenne (1588-1648), Fermat’yla çağdaş ve Fermat’nın mektup arkadaşı bir Fransız matematikçisidir.
3. Bu yazıda, "sayı" sözcüğünü, 0, 1, 2, 3 gibi "doğal sayılar" için kullanacağız.
4. Kaynakça [47] ve [48]’de bu teoremin özet kanıtını bulabilirsiniz.
5. x ve x’in güçlerini toplayarak ve çıkartarak elde edilen terimlere polinom denir.
6. 341’in yalancı asal olduğu 1819’da Sarrus tarafından bulunmuştur.
7. Buradaki log, e temelindeki logaritmadır.