Korku nasıl alaya dönüşür?

Korku nasıl alaya dönüşür?
Matematikçi yenilirse korkudan değil, mertçe bir savaştan sonra yenilmişir.

Korku denli insanı yönlendiren, zamanına  göre  güç  veren,  zamanına göre  zayıflatan  bir  duygu  az  vardır.

Korkudan nefret, saygı, alay, cesaret, hatta tüm bu duyguların bir alaşımı  da doğabilir.

Matematikten ve genel olarak bilimden sokaktaki insan korkar. Bilinmeyenin yarattığı bir korkudur bu, karanlıktan duyulan korkuya benzer. Salt sokaktaki insana özgü değildir bu duygu. Bir matematikçi de aynı duyguya kapılabilir. Ama matematikçi o duyguyu yenmesini bilir.

Önünde yıllarca çözülmemiş bir problem ve bir tutam beyaz kağıt vardır. Edilgen kalmaz matematikçi. Sorunun bir kıyısından dalar, olmadı  bir  başka kıyısından... Kolay kolay pes etmez, yıllarını, hatta yaşamını adar soruna. Matematikçi yenilirse korkudan değil, mertçe bir savaştan sonra yenilmiştir. Ve kimbilir, belki de sorunun ileride çözülmesine bir katkısı olmuştur.  Bir  gerçeğe  bir  yaşam  adanmış çok mu?

Korku nasıl alaya dönüşür?

  • Matemağim o kadar kötüydüki, lisedeyken, hocamız, bir defasında ¸sey sormuştu, hani ne derler,  hah işte  ondan...  Ben de şey demiştim! Ha ha  ha!  Anla  işte  benim  matematiğim o kadar kötüdür. Ha ha ha!

Kişi önce kendisiyle alay eder. Ama asıl amacı matematikle alay etmektir. Nitekim sözlerini aşağı yukarı şöyle sürdürür:

Yahu o kargacık burgacık yazıları nasıl anlıyorsun? Aşkolsun!

Bu sözlerin sahibi her ne denli matematikçiye hayranlığını dile getiriyor gibi görünüyorsa da, aslında matematikçiyi başka bir dünyanın insanı olarak göstererek eksikliğin kendinde olmadığını kanıtlamaya çalışıyordur. Tuhaf olanın kendisinin değil, kargacık burgacık yazıları anlayanın olduğunu söylemek ister.  Ona göre matematiği anlamamaktır doğal olan, anlamak değil. Savunmadadır.. İçindeki ezikliği gidermek istemektedir.

Matematikçi bir kadın arkadadaşım anlattı. Bir gece bir bara gitmiş. Çok iyi bir matematikçi olduğu kadar da alımlı,  zarif bir  kadındır.  Yanına  bir  adam  sokulmuş.  Adamın  amacı  belli. Eh, belki arkadaşımın amacı da pek başka değil. Başlangıç zor olmuş ama başarmışlar. Tanışma aşamasından sonra, adam kadına ne iş yaptığını  sormuş.  Matematikçiyim  yanıtını alınca adam önce  bocalamış, sonra  gem vurdurmadan, "Yemek  yapmasını da biliyor musunuz?" diye sormuş. Bu soru üzerine matematikçi arkadaşım adamı başından savmış.

Kadın-erkek ilişkisinde  geleneksel erkek  daha güçlü daha akıllı, daha becerikli, her bakımdan daha üstün olmak ister.

Sözünü ettiğimiz çapkın da bu erkeklerden biridir. Matematikçi bir kadınla ne yapacağını bilmez. Alışık olduğu ilişkiyi kuramaz. Şaşırmıştır,  ezilmiştir.  Tek çıkış yolu işi alaya vurmaktır.  Tuhaflığın kendisinde değil kadında olduğunu belirtir. "Sen kadın değilsin (çünkü senden üstün değilim)" demeye getirir.

İsviçre’de bir arkadaşım bir haftalık tatilde evine davet etmişti. Lisedeydim o  zamanlar. Çağrıyı kabul edip  evlerine  gittim.  Arkadaşımın  babası çiftçiydi,  yani  bildiğimiz köylüydü. İlkokuldan sonra  okula  gitmemişti.  Patates ve havuç tarlaları vardı. İsviçre’nin yoksullarındandılar. Üstelik, İsviçre’nin en geri kalmış kantonunda oturuyorlardı. Liseden sonra ne okuyacağımı sordu. Matematik deyince çok sevindi adamcağız. Hemen içkileri çıkardı.

Matematiğin şerefine kaç kadeh kaldırdığımızı anımsamıyorum şimdi. Biraz sonra önüme bir dosya koydu. İçinde çözdüğü matematik problemleri varmış. Ve bu problemleri  başka  yerden  almamış,  kendi  uydurmuş. Problemlerinden birini unutamıyorum: Saatin üç iğnesi, yani akrep, yelkovan ve saniye iğnesi, saat kaçta üstüste gelir? Elbet saat 12’de ve 24'te üstüste gelirler, ama bunların dışında... O kadar kolay bir problem de˘gil, hele bir ilkokul mezunu için... Bu problemle aylarca uğraşmış bulmuş yanıtı en sonunda. Yıllardır  yetiştirdiği patateslere ve havuçlara benzeyen kocaman nasırlı parmaklarıyla yazdığı inci gibi bir yazıyla çöözümü koymuş kağıda geçirip dosyasına.

Kahvelerde pinekleyenler aklıma geliyor da...

İşte bu kişi bilime ve matematiğe gerçek anlamda saygı duyar. Çünkü bilim için harcanan emeğin de˘gerini bilir. Matematikten korkmaz, tam tersine matematiğe sahip çıkar. Matematikçi ya da bilimci olmak isteyen kızına "önce yemek yapmasını öğren" demez.

Araştırmanın yaşı yoktur. On beş yaşında yaptığım sözümona araştırmalardan aldığım zevk, bugün profesyonel bir matematikçi olarak yaptığım araştırmalardan aldığım zevkten bir dirhem  daha  az  değildi.

Anlattığım ilkokul mezunu köylünün araştırmasını ancak yaşamında hiç araştırma yapmamış kişi küçümseyebilir.

Çocuklarımızın matematikten, araştırmadan, soru sormaktan, bilmediklerinden korkmamaları, korkularını yenebilmeleri için ne yapabiliriz? Çeşitli yollar, yöntemler önerilebilir. Matematikçilerin çoğu oyun sever, çünkü oyun oynayarak matematikçi olmuşlardır ve  matematik  de  bir tür oyundur.  Matematik,  felsefe  gibi,  sanat  gibi, her şeyden önce  dalga geçmektir. Çalışan  matematikçinin dürtüsü topluma  yararlı  olmak  gibi soylu düşünceler değildir. Her insan gibi topluma, insanlara yararlı olmak ister matematikçi. Ama ilk amacı bu değildir. "Aaa ne güzel problem" der matematikçi. "Bunu çözerken amma da dalga geçeceğim" der.  Ve çocuksu bir coşkuyla işe koyulur. 

Çocuğun matematikten korkmamasını sağlayacak, çocuğa matematiği sevdirecek çeşitli oyunlar vardır: satranç, dama, go, domino, aznif... İkambil  oyunları  kötü alışkanlık  yapar  diye çocuklara  yasaklanmı¸stır ülkemizde.  Ana babalar  belki  de  pek haksız sayılmazlar bu konuda. Öte yandan sağlam aile ortamında ve sağlıklı bir toplumda kağıt oyunları zarar vermez. Pokerden  21’e,  kaptıkaçtıdan  66’ya,  piştiden  briçe, bezikten  bluma dek her türlü oyun öğreticidir Bu  konuda ilginç bir  anım var. Bir matematikçi ailesi tanıyorum. Hem ana, hem baba matematikçi. Anne altı yaşına yeni girmiş kızına çarpmayı anlatmaktadır. Önce 2 × 3 = 6 örneğini verir. Küçü kız hemen atılır:

Hani, on üç kere dört elli iki eder, onun gibi mi? diye sorar. Küçük kız kendini bildi bileli kağıt oyunları oynamaktadır.

 

İskambil kağıtlarında  4  renk  olduğunu,  her  renkten  13  kağıt olduğunu ve toplam 52 kağıt olduğunu bilir. 13×4 = 52 eşitliğini kendi kendine bulmuştur. C¸ arpmayı bir kez daha keşfetmiştir. Nasıl  her  matematikçi kendinden önce  bilinen  matematiği  bir kez  de  kendisi  bulursa,  bu  6  yaşındaki çocuk  da çarpmayı  yeniden  bulmuştur. Çarpma artık onun malıdır. Daha o yaştan matematikçidir. Şimdi o kız büyüdü ve ABD’nin en iyi üniversitelerinden birinde okuyor.

 

Matematikçilerin büyüdüklerinde oynadıkları oyunlar bildiğimiz oyunlardan değişiktir.  Onlar  artık  kazanmak  için değil, kimin kazanacağını bulmak i¸cin oynarlar. Matematikçilerin oynamaktan hoşlanacağı oyunlardan birkaç örnek sunayım.

 

1- Bu oyun yuvarlak bir masanın çevresinde, yuvarlak pullarla (örneğin tavla pullarıyla)  oynanan iki kişilik bir oyundur.  Her oyuncu  sırası  geldiğinde  masanın üstüne  bir  pul  koyar.  

Ama pulunu ba¸ska bir pulun u¨stu¨ne koyamaz. Pulunu koyacak yer bulamayan oyuncu kaybeder. Bu oyun iki oyuncudan biri tarafından kazanılır elbet. Ama, ben diyorum ki, iki oyuncudan  biri öyle oynayabilir ki oyunu  kesinlikle  kazanır. Öbürü ne oynarsa oynasın, ne kadar düşünürse düşünsün, oyuncumuz her seferinde öyle  bir  hamle  bulur  ki,  oyunu hep kazanır. Yani oyunculardan birinin bir her zaman kazanan stratejisi vardır. Hangi oyuncu, nasıl oynarsa kazanır? İşte matematikçi bu oyunu oynamaz, her zaman kazanan stratejiyi bulmaya çalışır.

 

2- Bu da iki ki¸silik bir oyun. 25’ten ba¸slayarak her oyuncu, öbür oyuncunun  en  son söylediği sayıdan 1 ya da  2 çıkarır. Birinci oyuncu, ilk hamlesinde, 25’ten ya 1 ya 2 çıkarır, yani ya 24 ya 23 der. Diyelim 24 dedi. İkinci oyuncu, birinci oyuncunun söylediği sayıdan ya 1 ya 2 çıkarır, yani ya 23 ya 22 der. Diyelim 22 dedi. Sıra gene birinci oyuncuda. Birinci oyuncu ya 21 ya 20 diyebilir. Oyun  böyle sürer gider. İlk kez 0 (sıfır) demek  zorunda  kalan oyunu kaybeder (negatif sayılar yasak).

 Bu oyunda da oyunculardan birinin her zaman kazanan stratejisi vardır. Hangi oyuncunun? Ve o strateji nedir?

Düşünelim.

0 diyen kaybediyor.

Demek ki 1 diyen kazanıyor çünkü öbür oyuncu bir sonraki hamlesinde 0 demek zorunda.

Demek ki 2 ya da 3 diyen kaybediyor, çünkü öbür oyuncu sıra kendisine geldi˘ginde 1 diyebilir.

Demek ki 4 diyen kazanıyor, çünkü öbür oyuncu 2 ya da 3 demek zorunda.

Demek ki 5 ya da 6 diyen kaybediyor, çünkü öbür oyuncu 4 diyebilir.

Demek ki 7 diyen kazanıyor, çünkü öbür oyuncu 5 ya da 6 demek zorunda.

Demek ki 8 ya da 9 diyen kaybediyor, çünkü öbür oyuncu 7 diyebilir.

Bunu böyle sürdürüp kazanan ve kaybeden sayıları yazalım:

 

Burada ilginç olan, problemi bitmiş varsayıp, sondan başa gitmemiz.

Bu oyunun çeşitlemeleri de yapılabilir. Örneğin 47’den başlanabilir ve her oyuncu 1’den 5’e kadar bir sayı çıkarabilir. Bu oyunda her-zaman-kazanan-stratejisi olan oyuncuyu bulmayı okura bırakıyorum.

Bu oyun tek başına ve on tavla puluyla oynanır. Bu on tavla pulunu tek sıra olarak önünüze dizin:

Yapabileceğiniz bir tür hamle var: Bir pulu sağındaki ya da solundaki iki pul üstünden atlatarak sonraki pulun üstüne koyabilirsiniz. Ve bir tek kural var: Bir pula en çok bir kez dokunabilirsiniz. Amaç pulları ikişer ikişer dizmek. Örneğin yukarıdaki durumda soldan altıncı pulu kaldırıp soldan üçüncü pulun üstüne koyabiliriz ve aşağıdaki durumu elde edebiliriz:

Bu hamleden sonra en soldaki pul yerinden oynayamayacağından oyunu burada kaybettik.
Nasıl  kazanabiliriz?  Biraz öceki  oyun  gibi  düşüneceğiz. Oyunu  bitmiş varsayıp  geriye  Gideceğiz.  Bunun  için  pulları ikişer  ikişer  5  küme  olarak  dizelim.  Bu  oyunun  son  durumu. Şimdi hamleleri teker teker geri alalım. Türlü biçimde geri alabiliriz hamleleri. İşte biri:

2- Gene tek ki¸silik bir oyun. Önünüze bir dama tahtası alın.

En üstteki sol kareye bir tavla pulu koyun. O pulla şu hamleleri yapabilirsiniz: Pulu bir kare sağa, sola, aşağı ya da yukarı kaydırabilirsiniz. Her kareden geçerek ve yalnızca bir kez geçerek pulu en alt sağ kareye götürebilir  misiniz?  Götürebilirseniz  nasıl  götürürsünüz,  götüremezseniz neden götüremezsiniz?

Doğru  yanıt... "Hayır götüremem"dir. Niye mi? Dama tahtasında 64 kare vardır. Her kareden  bir  kez  geçmemiz  gerektiğine göre 63 hamle yapabiliriz. Yani 63 hamlede en üst sol kareden en alt sağ kareye gitmeliyiz. Oysa bu iki kare beyaz.

Ve tek sayıda beyaz bir kareden gene beyaz bir kareye gidilemez! Çünkü tek hamle ta¸sı siyah kareden beyaz, beyaz kareden siyaha hareket ettirir.

Yanıt ne kadar basit değil mi? Matematiğin güzelliği işte burada. Nereden kaynaklanıyor bu güzellik? Estetlerin üstünde durmaları  gereken  ve  birçok  estetin  de konudur matematiğin güzelliği.

Bence buradaki güzellik şurdan kaynaklanıyor: Yanıt şaşırtıcı bir yalınlıkta. Elimizdeki verilerden yalnızca işimize yarayanı kullanıyoruz. Pulun hangi kareden hangi kareye gideceğinden çok, beyaz bir kareden gene beyaz bir kareye gitmesi ¨onemli. Ve hamle  sayısının  63  olmasından çok  bir  tek  sayı  olması önemli. Çok daha genel bir sonuç bulduk: Beyaz bir kareden gene beyaz bir kareye tek sayıda hamleyle gidemeyiz. Oyunun çözümü bu genel sonucun özel bir hali. Çoğu zaman olduğu gibi burada da genel teoremin kanıtı, özel halin kanıtından daha kolay ve daha şık.

Bir de aynı soruyu bir dama tahtası için değil de, herhangi bir 8 × 8 karelik tahta için sorsaydım, yanıtı bulmak daha zor olurdu. Çünkü önce 8×8’lik tahtayı dama tahtası gibi boyamak gerekecekti. Sonra da yukarıdaki akıl yürütmeyi yapacaktık.

3- İki  oyuncu  ortaya  bir  deste  kağıt  koyarlar.  Destedeki kağıt sayısı değişebilir. Birinci oyuncu desteyi ikiye ayırır. Ancak tam ortadan ikiye ayıramaz. Örneğin destede 24 kağıt varsa, bu desteyi 12 - 12 olarak iki desteye ayıramaz.

İkinci oyuncu iki desteden birini seçecek ve seçtiği bu desteyi ikiye ayıracak. Böylece oyunda üç deste olacak. 

İkinci oyuncu da desteyi tam ortadan  ikiye bölemez.  Birinci  oyuncu  bu üç desteden  birini  ikiye ayıracak...  Oyun  böyle sürer. Destelerden  birini  ikiye bölemeyen, yani hamle yapamayan ilk oyuncu oyunu kaybeder.

Eğer oyunun başında destede 2 kağıt varsa, birinci oyuncu kaybeder, çünkü desteyi  ortadan  ikiye bölmeye  hakkı olmadığından oyuna başlayamaz bile.

Eğer destede 3 kağıt varsa ikinci oyuncu kaybeder: Birinci oyuncu desteyi 1 - 2 diye ikiye ayırır. 

Eğer destede 4 kağıt varsa, birinci oyuncu desteyi 2 - 2 diyayıramayacağından,  ancak  3 - 1  diye  ayırır.

İkinci oyuncunun da bir tek seçeneği vardır: Üçlük desteyi 1 - 2 diye ayırmak ve kazanmak. Demek ki 4’lu¨k oyunu ikinci oyuncu kazanır.

Eğer destede 5 kağıt  varsa,  birinci  oyuncunun  iki  seçeneği vardır. Oyunu ya 4 - 1 ya da 2 - 3 yapar. Oyunu 2 - 3 yaparsa kaybeder, dolayısıyla 4 - 1 yapmalıdır. Oyunu 4 - 1 yapar ve ka- zanır.

Eğer destede  6 kağıt  varsa,  birinci  oyuncunun  iki  seçeneği vardır. Oyunu ya 5 - 1 yapacaktır ya da 4 - 2.

Oyunu 3 - 3 ya- pamaz, çünkü kağıtları tam ortadan bölemez. Eğer oyunu 5 - 1 yaparsa kaybeder, çünkü öbür yuncu oyunu 4 - 2 - 1 yapar. Öte yandan oyunu 4 - 2  yaparsa  kazanır. Demek ki 6 kağıtlık desteyle başlanan oyunu birinci oyuncu, iyi oynarsa, kazanır.

n kağıtlık desteyle oyuna başlanırsa, hangi oyuncunun kazanan stratejisi vardır? Küçük sayılar için arkadaşlarımla birlikte hesapladık ve şu sonuçları bulduk: Eğer oyuna

2, 4, 7, 10, 20, 23

ya  da  26  kağıtla başlanırsa ikinci  oyuncu  oyunu  -iyi  oynarsa- kazanır. Eğer kağıt  sayısı  28  ya  da  28’den  azsa  ve  2,  4,  7,  10, 20,  23,  26  değilse  oyunu  birinci  oyuncu  -iyi  oynarsa-  kazanır. Bunun dışında fazla bişey bilmiyorum. Bu konuda daha derin analiz Matematik ve Sanat adlı kitabımın Bir Deste Kağıdı İkiye Bölme Oyunu  adlı yazısında bulunabilir.

4- Ele alacağımız son oyun en az iki kişi arasında oynanır. İki kişi arasında oynatalım. İki oyuncu sırayla zar atar. Gelen zarlar  toplanır.  100’e  ilk erişen ya da 100’u¨  ilk geçen oyunu kazanır. Bir oyuncu üstüste dilediğince zar atabilir; atabilir ama 1 gelmezse... 1 geldiğinde sayıları silinir. Dilediği zaman zar atmaktan vaz gec¸er.  O  zaman,  o  ana  dek attığı zarların  toplamı hanesine bir  daha  hiç silinmemek üzere yazılır.

Diyelim birinci oyuncu 6 attı. Dilerse bir kez daha zar atabilir.  Atar  da  1  gelirse  daha önce attığı  6  silinir  ve  sıra öbür oyuncuya  geçer.  Diyelim  ikinci  kez  attı  ve  1  değil  de  3  geldi. Şimdi  birinci  oyuncunun  toplam  9  sayısı  oldu.  Bir  kez  daha zar atmalı mı? Atar da 1 gelmezse sorun yok, ama 1 gelirse yazdırmadığı 9 puanı silinecek. Diyelim birinci oyuncu burada durdu. Birinci oyuncunun hanesine 9 yazılır. Bu 9, oyunun sonuna değin silinmez. Şimdi sıra ikinci oyuncuda. İkinci oyuncu 1 atarsa, sıra gene birinci oyuncuya geçer. Diyelim ikinci oyuncu 5 attı. Geride olduğundan şansını bir kez daha denedi ve gene 5 geldi. Toplam 10 puanı oldu. Pas geçebilir. Diyelim pas geçti. Böylece ikinci oyuncunun hanesine bir daha silinmemek u¨zere 10 yazıldı. Sıra gene birinci oyuncuda. Birinci oyuncu ilk seferde 6 attı. Eğer pas geçerse bu sayı daha önceki 9’a eklenir ve bir daha  hiç silinmez.  Ama  diyelim  ikinci  oyuncu  6’yı  az  bularak bir  kez  daha  zar  attı. Şans  bu  ya,  ikinci  zar  1  geldi.  Birinci oyuncunun 6 puanı silindi, ama daha önce elde ettiği 9 puana dokunulmadı.  Oyun böylecene  sürer...  100’e  ilk  erişen  ya  da 100'ü ilk geçen oyunu kazanır.

Soru ne? Soru her zamanki gibi en iyi stratejiyi bulmak. Hiç durmamacasına, 100’e erişinceye değin zar atmak iyi bir strateji olmasa gerek. Şansı bunca zorlamamalı. Bir zar atıp durmak da iyi bir strateji olmamalı. 6 geldiğinde durmak hadi neyse de, 2 geldiğinde durmanın pek anlamı yok gibi. Belli bir toplamdan sonra durma stratejisi izlenmek isteniyorsa hangi toplamdan sonra  durmalı?  10  aşıldığında  durmalı  mı örneğin?  Yoksa  20 aşıldığında mı durmalı?

Bu oyun şansa bağlı olduğundan %100 kazanan strateji yoktur. Öte yandan, olasılık olarak düşünüldüğünde bir "çoğu-zaman-kazandıran-strateji", daha doğrusu kazanma beklentisinin maksimum olduğu bir strateji  vardır.   Bu  anlamda  en  iyi strateji nedir? Yanıtı bilmiyorum.

Kimi durumlarda sezgi yardımımıza koşuyor. Örneğin öbür yuncunun  99  bizimse  0  puanımız  varsa,  hakkımız  olduğu sürece  zar  atmayı sürdürmeliyiz.  Peki,  ya  iki  oyuncunun  da  80 puanı varsa? Hatta ilk oyuncuysak ve oyunun en başındaysak?

 

İlk zardan sonra durmak iyi bir strateji midir? Bu stratejinin beklentisini hesaplayalım. Yani bu stratejiyle oynayan oyuncunun,  hanesine  ortalama  kaç sayı  yazdıracağını bulalım. Gelecek zarlar belli: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Her zarın olasılığı aynı: 1/6.

1 gelirse oyuncunun hanesine 0 yazılacak. 2 gelirse 2, 3 ge- lirse 3, 4 gelirse 4, 5 gelirse 5, 6 gelirse 6 yazılacak. Beklentiyi bulmak için haneye yazılacak sayılarla bu sayıları elde etme olasılıklarını çarparız ve bu çarpımları  toplarız.  Sözkonusu  stratejinin beklentisi

 

olur. Bu şu demektir. Bu stratejiyle bin kez zar atsanız, ortalamanız aşağı yukarı 3,333 olacaktır.

Belli bir toplamdan sonra durma stratejisi izlenmek isteniyorsa hangi sayıdan sonra durmalı? Diyelim toplamımız en az 5 olduğunda durma kararı aldık. Bu stratejiyle beklentimiz nedir, yani bu stratejiyle oynayan  bir oyuncu hanesine ortalama kaç yazdırır? Bu stratejiyle oynandığında oyun hangi zarlardan sonra sona erer? Toplamı en az 5 eden zarları, zarların toplamını ve olasılıklarını aşağıda teker teker sıraladık:

 

Sonuç 1042/216,  yani  aşağı  yukarı  4,685... çıkar.  Bu  sayı yukarıda buldu˘gumuz 3,3333... sayısından daha büyük olduğundan, bu strateji ilk stratejiden daha iyidir.

Bir de iki  zar  atıp  durmak  var.  Bu  stratejinin  beklentisi de kolaylıkla hesaplanabilir ve 200/36, yani 5,555... bulunur. Demek ki bu son strateji yukarıdaki stratejilerden daha iyi.

Bu hesapları Bilkent Matematik Bölümünden Fırat Çelikler yapmıştır. Bunun dışında Fırat Çelikler’in yaptığı bir bilgisayar yazılımı, denenen çeşitli stratejiler arasından, 20 geçildiğinde durmanın, beklentisi en iyi strateji olduğunu gösterdi. Bu stratejinin  beklentisi  8,14’u¨  aşıyor,  bilgisayar  8,1417948937...

değerini verdi. 20’yi aşmakla 21’i aşmanın beklentilerinin  aynı olduğunu gördük. Okur, beklentisi daha yüksek bir strateji bulursa ve yazara stratejisini söylerse, yazarı sevindirir.

n’de durma stratejilerinin beklentileri şöyle (yuvarlak hesap, ±0,005):

 

Her iki oyuncu da 20’de durmaya karar verirse kim kazanır? Birinci  oyuncu  daha  sık  kazanır  elbet, çünkü oyuna  başlayanın bir avantajı vardır.

Fırat C¸ elikler, bilgisayarda iki oyuncuya bu oyunu oynattı ve  birinci  oyuncunun  %53 - 54  sıklığında  oyunu  kazandığını buldu. Eğer ikinci oyuncu stratejisini değiştirirse, örneğin 23’te durma stratejisini uygularsa, ikinci oyuncunun kazanma olasılığı  artıyor,  ama  %50’yi aşamıyor.  Bilgisayar  denemelerinden, ikinci  oyuncunun  en  iyi  stratejisinin  25’i aşıp durmak  olduğu belirlendi.  Bu  stratejiyle  birinci  oyuncunun  kazanma  sıklığı %52’ye kadar düşüyor.

BİLAR’dan bir öğrenci, toplam 20 olduğunda durulması gerektiğini şöyle gösterdi: T  belli bir ana dek elde ettiğimiz toplam olsun. Bu toplamdan sonra bir kez daha zar atmalı mıyız? Bir sonraki atışta 1, 2, 3, 4, 5, 6 zarlarından birini atabiliriz ve toplamımız sırasıyla 0, T + 2, T + 3, T + 4, T + 5, T + 6 olur.

Öne Çıkanlar