İlkokulda çocuklarımıza askercilik öğretiliyor, bense çocuklarımızın düşünmesini istiyorum

Ali NESİN

ARTI GERÇEK - İlkel insan, mağarasının duvarına resim çizerken soyut bir eşitlik kavramına sahipti. Çizdiği hayvan resmiyle gerçek hayvan arasında bir ilişki kurar, iki ve üç boyutlu iki değişik nesneyi eşleştirirdi. Üstelik çizdiği geyik herhangi bir geyiğin resmiydi. "Herhangi bir geyik", "genel bir geyik" gibi düşünceler soyutlamaya giden ilk adımlardır. İlkel insan soyutlamaya, dolayısıyla matematikçileşmeye böyle başladı. Bu evreden "x bir geyik olsun" evresine geçmek için küçük bir adım gerek. Bu küçük adım insanlığın binlerce yılını almıştır.

İlkel insanın mağara duvarlarına çizdiği geyiğin, gerçek geyik gibi, dört ayağı, iki gözü, bir burnu vardı. Bilinçli olarak sayı sayıp sayamadıklarını bilmiyoruz ama sözsüz ve yazısız da olsa bir tür sayı kavramına sahip oldukları apaçık. Hayvanlarda da vardır ilkel bir sayı kavramı. Hayvanların sayı kavramı üzerine oldukça araştırma yapılmış ve bilimsel yazı yazılmıştır. Örneğin kargaların dörde kadar sayabildikleri söylenir.

Zamanla insanlar küçük sayıları yan yana koyarak büyük sayıları elde edebileceğini bir süre sonra buldu. Örneğin bugün sayıları yazmak için 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 rakamlarını kullanırız. On rakam kullandığımızdan sayı sistemimize "onluk sistem" deriz. Onluk sistemin neden öbür sistemlerden daha kullanışlı ve yaygın olduğunu anlamak oldukça kolay: İki elimizin on parmağı var. Maymunlar gibi ayak parmaklarımıza da kolayca ulaşabilseydik 20’lik sistemde yazabilirdik.

İkilik sistemde yalnızca iki rakam (tercihen 0 ve 1 rakamları) kullanılır. Bu sistemde 0 ile 9 arasındaki sayılar sırasıyla şöyle yazılır:

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001.

Görüldüğü gibi bu sistemde 2 ve 2’den büyük rakamlar kullanılmaz. Her sayı 0 ve 1 rakamlarıyla yazılır. 2 yerine 10, 3 yerine 11, 4 yerine 100 yazılır.

Beşlik sistemdeyse 5 ve 5’ten büyük rakamlar kullanılmaz. Her sayı 0, 1, 2, 3 ve 4 rakamlarıyla yazılır. Örneğin,

5 yerine 10,

6 yerine 11,

25 yerine 100 yazılır.

11’lik sistemde on bir rakam vardır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ♯. Bu sistemde,

yerine ♯,
yerine 10,
yerine 11,

21 yerine 1♯ = 1 × 11 + 10

22 yerine 20 = 2 × 10

110 yerine ♯ = 10 × 110

115 yerine ♯ 5 = 10 × 11 + 5

yazarız.

Bütün sayıları ilk bir, ilk beş, ilk on iki, ilk yirmi sayıyı kullanarak ifade eden toplumlar da vardı. Sayılar ve İmgelem Gücü adlı yazımızda bu kavimlerden örnekler vereceğiz. C¸ ağımızdan ve Batı uygarlı˘gından da ¨ornekler verebiliriz. Fransızlar 70’e "soixante-dix", yani "altmış-on" derler. Demek ki Fransızların ataları bir zamanlar altmışlık sistemi kullanmışlar, yetmişi dillerine daha sonra eklemişler.

Fransızlar 80 için "quat- re-vingts", yani "dört-yirmi" derler. Bundan da Fransızların atalarının, altmışlık sistemin yanısıra yirmilik sistemi de kul- landıkları anlaşılıyor. Zaten düzine, dozen, douzaine gibi 12 an- lamına gelen kelimeler de 12’lik sistemi işaret eder.

Türkçemiz de bu konuda ilginç bir gelişme göstermişe benzer. On bir (10+1), on iki (10+2), on üç¸ (10+3) gibi sayılara ba- kacak olursak, atalarımızın onluk sistemi kullandıkları anlaşılır.

Öte yandan, on, yirmi, otuz, kırk, elli sayılarının bir, iki, üç, dört, beş sayılarıyla herhangi bir ses benzerliği yoktur. Ama altmış, yetmiş, seksen ve doksan sayılarının altı, yedi, sekiz ve dokuzla ses benzerliği vardır. Altmış altıdan, yetmiş yediden, seksen sekizden ve doksan dokuzdan türemiş belli ki. Demek ki bizim de bir zamanlar altmışlık sistemimiz varmış. Bugün hem onluk, hem altmışlık sistemi içeren bir sayı sistemini kullanıyoruz. Birazdan göreceğimiz gibi Babilliler de buna benzer bir sistem kullanıyorlardı. Bundan da sayı sistemimizin Mezopotamya’dan geldiği kanısına kapılıyorum. Konunun uzmanlarının ne düşündüklerini bilmiyorum.

Türkçenin sayı sistemine ilişkin ikinci bir gözlem, altmış ve yetmiş sayılarının yapısıyla seksen ve doksan sayılarının yapısı arasındaki ayrımla ilgili: Altmış ve yetmiş, altı ve yediden aynı yapı değişikliğine uğrayarak türemiş. Oysa seksen ve doksanın yapıları değişik. Bundan da ¸su çıkabilir: 80 ve 90 sayılarını 60 ve 70 sayılarından çok daha sonra keşfetmişiz.

Çok az bildiğimiz ve günümüzü pek az etkilemiş olan Aztek ve Maya uygarlıklarını saymazsak, Yunan öncesi uygarlıklardan dördü matematikte önemli ilerlemeler kaydetmiştir:

Hintliler
C¸ inliler
Mezopotamyalılar
Mısırlılar

Üzerine en az bildi˘gimiz Hint matematiğidir. C¸ ok büyük sayılarla ilgilendiklerini biliyoruz. Ancak bu büyük sayılarla bir işe yaradıklarından değil, dinsel nedenlerle ilgilenirlerdi. Epik şiirlerinden birinde (Lalitavistava) 53 rakamlı bir sayı vardır! Bugu¨n kimi matematikçi, bir, iki, uüç gibi sayı kavramlarının 5 milyar, 3 trilyon gibi kavramlardan daha somut kavramlar olduklarını savunur. Ne demek istediklerini biraz sezinliyorum sanıyorum. Örneğin üç saniyenin oldu˘gunu hepimiz aşağı yukarı biliriz. Otuz yıl da bizim için bir anlam ifade eder. Oysa 1 milyar saniye? 1 milyar saniyeyi algılamak pek kolay de˘gil. Hesapladım, 1 milyar saniye 30 yıl ediyor aşağı yukarı. Yani "30 yıl = 1 milyar saniye" eşitliği ¨oyle bildi˘gimiz sıradan eşitliklerden değil. Sol taraftaki terimin anlamını algılayabiliyoruz, ama sağ taraftaki terim bize ¸cok yabancı.

Milyarı algılamanın bir başka yolu da ortalama yaşamın 2,5 milyar saniye olduğunu düşünmektir. Doğduğunuz andan 2,5 milyar saniye sonra 75 yaşında olacaksınız.

Çin matematiğine değin bilgimiz biraz daha fazla. Onlarda da büyük sayı mistisizmi vardı. Pisagor’un (MO¨ . 580-500) eşek teoremini²ve sihirli kareleri³ biliyorlardı. Ama Pisagor’un e¸sek teoreminin kanıtından habersizdiler. Kanıt kavramını Eski Yunanlı Tales (I˙O¨ 624-547) bulmuştur. Çinliler Pisagor’un eşek teoremini kanıtlamaya gereksinim bile duymadan, deneyle bulmuşlardı⁴. Bunun yanı sıra üçgenin ve paralel kenarın alanlarını biliyorlardı. Biz de bulalım bu alanları.

Bilindiği gibi yoktan bir şey varolmaz. Matematikte de belitsiz (aksiyomsuz) teorem kanıtlanamaz. Bir bilgiye varmak için birtakım varsayımların tartışmasız kabul edilmesi gerekmektedir. Bu varsayımlar genellikle öylesine doğaldır ki, matematiğe yabancı birisi bu varsayımların ayrımına varmaz bile. Aşağıda da birtakım varsayımlar kullanacağız. Bunlardan biri dikdörtgenlerin alanıyla ilgili: Uzunluğu a, genişliği b olan bir dikdörgenin alanı ab’dir. Bu önermeyi, kanıtlamadan, belit olarak kabul edece˘giz. Başka varsayımlarda da bulunacağız.

İlk olarak bir paralelkenarın alanını bulalım. ABCD, boyutları aşağıdaki gibi olan bir paralelkenar olsun:

Paralelkenarımız dikdörtgen oldu ama alanı değişmedi. Dolayısıyla paralelkenarımızın alanı yukarıdaki dikdörtgenin alanına, yani ab’ye eşittir.

Şimdi bir üçgenin alanını hesaplayabiliriz. ABC, aşağıda boyutları göterilen üçgen olsun:

Eğerr, simetriği alınınca, kaydırılınca (ve d¨ondürülünce) bir şeklin alanı değişmiyorsa (ki değişmez, alan böyle bir şeydir), elde ettiğimiz bu paralel kenarın alanı, biraz önce de hesapladığmız gibi, ab’dir. Ama aynı zamanda, alanını hesaplamak istedi˘gimiz üçgenin iki katıdır. Demek ki üçgenimizin alanı ab’nin yarısı, yani ab/2’dir. Üçgenin alanını böylece bulduk.

Bunu aşağıdaki şekilde de görebiliriz.

İlkokul ¸cocuklarının bile anlayabilecekleri bu kanıtları ne yazık ki çoğu çocuk bilmez. Oysa olağanüstü güzellikteki bu kanıtları erken yaşlarda görmek bütün bir yaşamı değişirebilir. Cimnastik derslerinde hazırola ve rahata geçmenin öğretildiği bir eğitim sisteminden düşünmesini öğretmesi beklenebilir mi? Evet, ilkokullarımızda parmak kadar ¸cocuklara askercilik öğretiliyor. Bense çocuklarımızın düşünmesini istiyorum.

Mısırlılara gelelim. Mısırlılar çağlarının en iyi mühendisleri, kimyagerleri ve doktorlarıydı. Piramitleri İÖ 000 ile 2000 yılları arasında yapmışlardır. Yapılan ölçümlere göre bu piramitlerin açıları arasında yalnızca 1/27000’lik bir fark varmış. Birkac¸ yıl öncesinin İsvi¸cre saatleriyle karşıla¸stırılabilecek bir doğruluk derecesi.

Bir yılın 365 gu¨n olduğnu ya da olması gerektiğini ilk bulan Mısırlılardır. Dikdörtgenin ve trapezin alanlarını hesaplamasını da biliyorlardı. Mısırlılardan geri mi kalacağz, boyutları aşağıdaki şekildeki gibi olan bir ABCD trapezinin alanını biz de hesaplayalım.

B’den DC’ye doğru AD’ye bir paralel ¸cekelim.

Bugünkü saat sistemimizi Babillilere borçluyuz.

Yazının başında matematiğin "doğal" bir bilim olduğunu çıtlatmı¸stım. Evet, matematik doğaldır. Ne denli soyut olursa olsun, matematik insanların buluşu değildir. Matematik insanlardan bağımsızdır. Matematik yapmak demek doğanın yasalarını, zekˆasını anlamaya çalışmak demektir. Fizik, kimya gibi deği özgü bambaşka yöntemlerle yapar bu işi matematik. Matematik doğanın özünde vardır ve matematikçiler insanlardan ba˘gımsız olan bu matemati˘gi bulmaya, ke¸sfetme- ye ¸calı¸sırlar. Matematik icat edilmez, keşfedilir. π sayısı, çeşitli sonsuzluk kavramları, kümeler kuramı, topoloji, sayılar kuramı, hatta mantık, sözün kısası matematikte her şey, ama herşey doğanın özünde bulunur. Matematikteki konular, kavramlar bizim anlağımızın bir ürünü değildirler, bizim dışımızda da, bizden bağımsız olarak vardırlar.

Bu yüzden evrenimizde yaşayan ve bir tür matematik geliştirecek kerte akıllı olan her yaratık bizim bildiğimiz matematiği eninde sonunda bulur. Çünkü bir tek Matematik vardır: Doğanın matematiği⁵.

Bu yazdıklarım evrensel olarak kabul edilmiş düşünceler değilldir, kanıtlanmaları da pek olası değidir. Matematikle içli dışlı olan çoğu kişi benim gibi düşünür. Ünlü matematikçi Hardy’nin bu konuda yazdıklarını aktarayım. (Bkz. kaynakça [20]’de 22’nci bölüm.)

Fiziksel gerçekle maddi dünyayı; gecesi gündüzü olan, depremleri olan, ay ve güneş tutulmaları olan dünyayı; fiziksel bilimlerin anlatmaya ¸calıştığı dünyayı kastediyorum. [...] Benim için ve sanırım çoğu matematik¸ci i¸cin "matematiksel gerçek " diye tanımlayacağım başka bir gerçek vardır. Bu matematiksel gerçeğin niteliği hakkında gerek matematik¸ciler gerek felsefeciler arasında herhangi bir uzlaşma yoktur. Bazılarına göre ‘zihin- sel ’dir ve onu bir bakıma biz yaratırız ; diğerleri ise onun bizim dışımızda ve bizden bağımsız olduğu kanısındadır. Matematiksel geerçeğin ne oldu˘gunu, inandırıcı bir şekilde açıklayabilecek bir kimse metafiziğin en zor problemlerinin ¸coğunu çözmüş olurdu. [...] Benim inancıma g¨ore, matematiksel gerçeklik bizim dışımızdadır ; bizim işlevimiz onu bulup çıkarmak ya da gözlemektir ; ıspatladığımızı veya tumturaklı sözlerle yarattığımızı s¨oylediğimiz teoremler, gözlemlerimizden çıkardığımız sonuçlardan ibarettir. Bu g¨orüş Eflatun’dan bu yana bir çok ünlü filozof tarafından da benimsenmiştir.

Hardy, aynı kitabın 24’u¨ncu¨ bölümünde matematiksel gerçeklikle fiziksel ger¸cekliği karşılaştırıyor:

[...] matematiksel nesneler çok daha göründükleri gibidirler. Bir iskemle veya bir yıldız hiç de göründüğü gibi değilldir; üzerlerinde ne kadar çok düşünürsek, görüntüleri de, duyularımızdan kaynaklanan bir sis içinde, o ölçüde netliğini kaybeder, bulanıklaşır. Buna karşılık, "2" veya "317"nin duyularla ilişkisi yoktur; yakından inceleddiğimiz ölçüde özellikleri daha da berraklaşır. [...] Öte yandan pür matematik, tüm idealizmin çarpıp battığı bir kayadır. 317 bir asaldır ; biz öyle düşünüyoruz diye, veya kafa yapımız şu ya da bu şekilde olduğu için değil; çünkü matematiksel gerçeğin yapısı budur.

1 Doç. Dr. Yusuf Gürsey’den edindiğim bilgiye göre, altmış ve yetmişteki "mış" ve "miş" sonekleri, Moğolca on sayısından türemiş ve seksen ve doksandaki "en" ve "an" sonekleri Türkçe on sayısıyla aynı kökten.

2 Pisagor ve Sayılar başlıklı yazıya bakınız: s. 149.

3 Sihirli Kareler yazılarına bakınız: s. 159-173.

4 Çinliler bu deneye dayanan yöntemle doğru olmayan teoremler de "kanıtlamışlardır". Asal Sayılar başlıklı yazımızda Çinlilerin yanlış teoremlerine bir örnek vereceğiz. Bkz. s. 125.

5 Bu konu, çok daha geniş olarak, Matematik ve Doğa adlı kitabımdaki "Matematik ve Doğa" başlıklı yazıda ele alınmıştır. (Bkz. Matematik ve Doğa, Nesin Yayınevi)