Sihirli kare yapmanın bir yöntemi

Ali NESİN

Çocuk dergilerinin şaşmaz sorusudur: "Aşağıdaki karenin içine 1’den 9’a kadar sayıları öyle yerleştirin ki, her sıranın, her kolonun ve her iki çaprazın sayılarının toplamı 15 olsun." Bu soruyu çözelim:

Bu tür karelere sihirli kare adı verilir. İşte 4 x 4’lük bir sihirli kare:

4 x 4’lük sihirli karede sihirli toplam 34’tür. Yani her ya- tay, dikey ve çapraz sıradaki sayıların toplamı 34’tür.

Sihirli karelerin geçmişi ta MÖ 1125’e dayanır. O tarihten kalmış Çin yazılarında sihirli karelere rastlanmıştır. Daha sonra 9’uncu yüzyılda Arap astrologlar tarafından kullanılmıştır. Herhalde "sihirli" sıfatını da bu tarihlerde almıştır.Birazdan yakından inceleyeceğimiz 5 x 5’lik sihirli kareyle 7 x 7’lik sihirli kareler tüm güzellikleriyle aşağıdalar:

Bu ve bundan sonraki yazıda sihirli kare yapmasını öğreneceğiz.

Sihirli karelerin bir işe yarayıp yaramadıklarını bilmiyorum. Umarım insanların daha mutlu olmalarını sağlar günün birinde. Sihirli kareler işe yarasın ya da yaramasın, sihirli kare- ler üzerine yanıtlanmamış soru varoldukça sihirli kareler ilginç bir konu olmayı sürdüreceklerdir.

n bir doğal sayı olsun. n x n’lik bir karenin içine 1’den n²’ye kadar olan bütün tamsayıları yerleştireceğiz. Her sayı yalnızca bir karede kullanılmak üzere elbet... Ve bunu öyle yapacağız ki, her sıranın, her sütunun ve her iki çaprazın da toplamları aynı olacak. Bu toplama denir. Önce sihirli top- lamı bulalım. n x n’lik bir sihirli kareye yazılan bütün sayıların toplamı 1’den n²’ye kadar tamsayıların toplamıdır, ve bu top- lam n²(n²+1)/2 sayısına eşittir. (Bkz. Pisagor ve Sayılar başlıklı yazı, sayfa xx.) Öte yandan n tane sıra var ve her sıranın top- lamı birbirine eşit. Demek ki sihirli toplamı bulmak için yukar- daki sayıyı n’ye bölmeliyiz. Dolayısıyla sihirli toplam

n(n²+1)/2

sayısına eşittir. Örneğin, verdiğimiz ilk sihirli karede n = 3 olduğundan, sihirli sayı 3(3²+1)/2 = 15’tir. Eğer n = 4 ise toplam 34, n = 5 ise toplam 65 olmalıdır.

Şimdi n’nin tek sayı olduğunu varsayalım ve n x n’lik bir si- hirli kare bulalım. Çift sayı boyutlu sihirli kareleri bir sonraki yazıda göreceğiz.

Dört kural olacak. Bu dört kuralı uygulayarak n tek olduğunda tüm n x n boyutlu sihirli kareleri bulabileceğiz.

Birinci Kural: 1’i en üst sıranın ortasına koyalım. Eğer n = 5 ise, birinci kuraldan sonra müstakbel sihirli karemiz aşağıda- ki gibi olmalıdır:

İkinci Kural: Yer varsa, her koyduğumuz sayının sağ üst çaprazına (yanş kuzeydoğuya) bir sonraki sayıyı koyacağız. Bu aşamada bu kuralı uygulayamayız çünkü 1’in kuzeydoğusuna gidersek çerçeveden çıkarız. Örnek olarak, yan sayfada verdiğimiz 5 x 5’lik sihirli karede (2,3), (4,5), (6,7,8), (11,12,13,14,15), (18,19,20), (21,22), (23,24) sayılarının konumlarına bakın.

Üçüncü Kural: Kimileyin ikinci kuralı uygulamak istediği- mizde karenin dışına çıkmak zorunda kalırız. Örneğin, yukar- daki durumda 2’yi 1’in sağ üst köşesine koyamayız, çünkü öy- le bir kare yok. Eğer üst kenardan karenin dışına çıkmışsak, çıktığımız sütunun en altına geçelim. Eğer sağ kenardan kare- nin dışına çıkmışsak, çıktığımız sıranın en soluna gidelim. Bu kurala göre, yukardaki durumda 2 en alt sıranın soldan dör- düncü karesine yazılmalı.

3’ü ikinci kurala uyarak yerleştirebiliriz:

Şimdi 4’ü koymamız gerekiyor. Ancak 4 sayısı karenin dı- şına çıkıyor. Sağdan çıkıyor. Üçüncü kurala göre çıktığı sıranın en soluna gitmemiz gerekiyor:

5’i ikinci kurala uyarak yerleştirebiliriz:

6’yı ilk üç kurala göre koyamıyoruz. Çünkü 6’nın sağ üst köşesindeki karede bir başka sayı var ve yukardaki kurallar bu durumda ne yapılması gerektiğini söylemiyor.

Dördüncü Kural: Eğer koyacağımız sayının yerinde daha önce koyduğumuz bir sayı varsa, koymamız gereken sayıyı bir önceki sayının altına yazalım.

Bu kurala göre 6, 5’in altına gelecek.

İkinci kurala göre 7 ve 8’in nereye konması gerektiğini biliyoruz:

9 karenin dışına çıkıyor. Üçüncü kuralı uygulayalım:

10 da dışarıda kalıyor. Gene üçüncü kuralı uygularız:

11 koymamız gereken yerde 6 var. Demek ki dördüncü kuralı uygulamamız gerekiyor:

12, 13, 14, 15’in yerleri boş. İkinci kuralı uygulayalım:

16 dışarda kalıyor. Hem de en köşede... Ne yapmalıyız? As- lında 16’nın yerinde 11 var. Neden? fiu nedenden: Üçüncü ku- ralı bir kez daha dikkatlice okuyalım. Üçüncü kurala göre ka- renin üst kenarıyla alt kenarını ve sağ kenarıyla sol kenarını ya- pıştırıyoruz. O zaman karenin sağ üst kenarıyla sol alt kenarı üstüste biniyor. Yani dışarı çıkan 16 aslında pek dışarı çıkmı- yor, daha doğrusu dışarı çıktığı yerde 11 var. Demek ki dör- düncü kuralı uygulayacağız:

17 sağdan taca çıktı. Taç atışını soldan kullanalım:

18 avut! 18’i koymak için üçüncü kuralı uygulayalım:

19 ve 20’yi koymak kolay, ikinci kuralı uygulamak yeterli:

21 için dördüncü kuralı uygularız:

22, ikinci kurala uyuyor:

23 sağdan dışarı çıkıyor. Üçüncü kural bu gibi durumlar için yaratılmış:

24 için ikinci kuralı uyguluyabiliriz:

25 için bir tek yer kaldı. Üçüncü kuralı uygularsak 25 tam yerine oturur:

İşte 5 x 5’lik sihirli karenin öyküsü. Artık dilerseniz 1985 x 1985’lik sihirli kare bile yapabilirsiniz. Ama bence dilemeyin. Üçüncü kurala bir kez daha göz atalım. Bu kurala göre çerçevenin dışına çıkan kare en aşağıya iniyor. Yani sihirli karenin üst sınır çizgisini alt sınır çizgisiyle eşleştiriyoruz. Aynı şeyi sol ve sağ sınır çizgileri için de söyleyebiliriz.

Sihirli karenin dört köşesine ad koyalım:

Önce sağ ve sol kenarları, yani AD kenarıyla BC kenarını eşleştirip bir silindir elde edelim:

Bu silindiri biraz döndürelim ki arkadaki sayılar da görünsün:

Böylece (2,3,4,5), (6,7,8), (9,10), (11,12,13,14,15), (16,17), (18,19,20) ve (21,22,23,24) ardışık sayıları birbirinin çaprazına geldiler.

Son olarak AB ve CD kenarlarını, yani silindirin alt ve üst tabanlarını eşleştirelim:

Bu "tekerlekte" (1,2,3,4,5), (6,7,8,9,10), (11,12,13,14,15), (16,17,18,19,20) ve (21,22,23,24,25) sayıları birbirinin çapra- zına geldiler. Matematikte "tekerlekler" çok önemlidir ve te- kerleklerin özel bir adı vardır: Torus.

(2n + 1) x (2n + 1) boyutlu sihirli kare inşa etmenin yukarda açıklanan dışında başka yöntemleri de vardır. Yukardaki en bilinen yöntemdir.

Sihirli karelerin tanımda belirtilenler dışında daha başka aritmetiksel özellikleri olabilir. Yukarda inşa edilen sihirli ka- relerin tümünün ortak bir özelliği vardır: Merkeze eşit uzaklık- ta olan sayıların toplamı hep n² + 1’dir. Bu sayı da merkezdeki sayının iki katıdır.

Yukardaki yöntemle inşa edilen sihirli karelerin bir başka ilginç özelliği daha var. Herhangi bir kareden başlayarak atın bir hareketini sürekli devam ettirin ve atın geçtiği karelerdeki sayıları toplayın. Ne sihirdir ne keramet, sihirli sayıyı bulursunuz. Örneğin, atın

yolculuğunda, 30 + 6 + 24 + 49 + 18 + 36 + 12 = 175 çıkar, n= 7 için sihirli sayı...

Bir başka örnek: Atın,

yolculuğunda, 5 + 8 + 18 + 28 + 31 + 41 + 44 = 175 elde edilir. Tabii (2n + 1) x (2n + 1) boyutlu birçok sihirli kare vardır. Biz bu yazıda böyle bir sihirli kare yapmanın sadece bir yöntemini gördük. Diğer yöntemlerle elde edilen sihirli karelerde yukardaki yan özellikler olmayabilir.